# 10: Boltzmanns fordelingslov

Boltzmanns fordelingslov, som gir fordelingen av atomer og molekyler over de tilgjengelige energinivåene ved likevekt, utledes. Dersom man har en modell for hvilke energinivå som er tilgjengelige for et system, kan man bruke Boltzmanns fordelingslov til å utlede hvordan partiklene fordeler seg over energinivåene, samt finne den korresponderende partisjonsfunksjonen. Med **partisjonsfunksjonen** kan man regne ut termodynamiske og (gjennomsnittlige) fysiske størrelser, som energi, entropi, frie energier, kjemisk potensial og trykk. Partisjonsfunksjonen til et helt system er produktet av partisjonsfunksjonene til hver enkelt partikkel, skalert med $1/N!$ når det er umulig å skjelne mellom forskjellige partikler.

Ensembler introduseres som samlingen av alle mikrotilstander for et system som oppfyller visse makroskopiske betingelser. Mer konkret brukes ensembler for å referere til hvilke variable som holdes konstant (og, implisitt, hva frihetsgradene er).

(ensemble)=

## Ensemble

Et ensemble er et system der du kontrollerer noen av variablene.  
Noen av ensemblene er så mye brukt at de har fått navn. Alle andre refereres til som (X,Y,Z)-ensemble.

| navn                     | verdier       |
| ------------------------ | ------------- |
| canonical ensemble       | $(T, V, N)$   |
| microcanonical ensemble  | $(U, V, N)$   |
| grand canonical ensemble | $(T, V, \mu)$ |
| isothermal-isobaric      | $(T, p, N)$   |

### Microcanonical ensemble

Microcanonical ensemble $(U, V, N)$ er spesielt fordi alle microstates er ekvivalente.

## Boltzmann distribution function

$$
p^*_j = \frac{e^{-E_j/k_BT}}{\displaystyle\sum_{j=1}^t e^{-E_j/k_BT}}
$$

Der $p^*_j$ er sannsynligheten for at systemet er ved energinivå $j$ ved likevekt, $E_j$ er energien til systemet ved energinivå $j$.

Funksjonen forteller oss at sannsynligheten for en microstate henger sammen med energien, og at høyere energi betyr lavere sannsynlighet. Merk at denne ikke gir sannsynligheten for en _energi_, men for et _energinivå_. Forskjellen er at mange forskjellige _energinivå_ kan ha samme _energi_. Merk også at det under brøkstreken er en _konstant_ mhp $j$ (det er nemlig [partisjonsfunksjonen](partition-function)).