# 15: Løsninger og blandinger

Gittermodeller utvikles for **ideelle** og **regulære løsninger**. I et system med to komponenter $A$ og $B$ finnes det flere måter å organisere partiklene på slik at $A$- og $B$-partikler er flettet sammen i en blanding, enn det finnes måter å organisere partiklene på slik at de er adskilt i separate faser. Dette gir opphav til en entropisk drivkraft for blanding, som er den eneste drivkraften som gjelder i en **ideell løsning**.

I en **regulær løsning** tar man også hensyn til attraktive interaksjoner mellom molekyler. Man tar imidlertid kun hensyn til interaksjoner mellom nærmeste naboer. En slik modell kalles en **Bragg-Williams-modell**, og i et slikt system avhenger graden av blanding av hvor sterke $AB$-interaksjonene er i forhold til $AA$-interaksjoner og $BB$-interaksjoner. Dette forholdet uttrykkes gjennom en parameter $\chi _{AB}$, som er proporsjonal med forskjellen mellom styrken på $AB$-interaksjonene og gjennomsnittet av $AA$- og $BB$-interaksjonene. Denne parameteren påvirker forskjellen i fri energi mellom blanding og adskilte faser, og dermed også likevekten mellom de to tilstandene.

Et uttrykk for **grenseflatespenning**, som er kostnaden i fri energi for å flytte en partikkel fra det indre av et materiale til grenseflaten mellom to kondenserte faser, utledes. Grenseflatespenningen er kostnaden i fri energi per partikkel for å øke grenseflatearealet.

Bragg-Williams modellen antar at partiklene spres uniformt når de blandes - den tar dermed ikke hensyn til at antallet $AB$-interaksjoner øker med graden av blanding eller at sannsynligheten for å finne en partikkel på en gitt plass i gitteret avhenger av hvilke partikler som er i nærheten. Den fungerer derfor ikke dersom det er store forskjeller i interaksjonsenergier. En mer sofistikert modell må ta hensyn til dette i partisjonsfunksjonen. Modellen ignorerer bidraget fra rotasjon og vibrasjon til partisjonsfunksjonen - dette bidraget er likt i de to fasene for små molekyler, men ikke for komplekse molekyler og polymerer - derfor fungerer ikke Bragg-Williams modellen for systemer med slike komponenter.

## Ideell løsning (ideal solution)

En ideell løsning blir tilnærmet som en lattice modell med ingen bindingsenergier. Hvert molekyl fyller en rute i lattice-modellen. Fordi vi ignorerer intermolekylære interaksjoner er det ingen endring av energi i blanding, og den eneste drivkraften er entropi.

```{admonition} Ideell gass vs ideell løsning
En ideell gass løses ikke med lattice-modeller, fordi vi later som gassmolekylene ikke okkuperer noe som helst molekyl. Merk at i øving 5 `KMC_gas_expansion`, der vi visualiserer utvidelse av gass under trykk, så bryter vi med dette prinsippet.
```

## Regulær løsning (regular solution)

I en regulær løsning tar vi hensyn til bindinger og bruker [Bragg-Williams tilnærmingen](bragg-williams) til å bestemme andelene av hver bindingstype. Hvis vi ikke bruker Bragg-Williams har vi ikke brukt den regulære løsningsmodellen. Dette gjelder for eksempel i kapittel 32 om polymerløsninger.

Vi har en lattice der vi antar at hver rute er fylt av enten et A- eller et B-molekyl. Ingen ruter er tomme. Enerigen i systemet er summen av alle bindingsenergiene.

$$
U = m_{AA}w_{AA}+m_{BB}w_{BB}+m_{AB}w_{AB}
$$

der $m_{XY}$ er antall $XY$-bindinger, og $w_{XY}$ er bindingsstyrken til disse bindingene.
Hver rute i latticen har $z$ bindinger. I hver binding inngår 2 molekyler.  
Vi kan også si at energien er summen av alle potensielle AA-bindinger + alle potensielle BB-bindinger minus summen av energiforskjellene som kommer av AB-bindinger. Den maksimale summen av AA-bindinger er $\frac{zN_{A}}{2}$. Totalt blir ligningen

$$
\begin{aligned}
U&=\frac{zN_A}{2}\cdot w_{AA}+\frac{zN_A}{2}\cdot w_{AA}-(\frac{w_{AA}+w_{BB}}{2}-w_{AB})\cdot m_{AB} \\
&=\frac{zN_A}{2}\cdot w_{AA}+\frac{zN_A}{2}\cdot w_{AA}+(w_{AB}-\frac{w_{AA}+w_{BB}}{2})\cdot m_{AB}
\end{aligned}
$$

fordelen med denne ligningen er at vi bare har en ukjent, $m_{AB}$. Deretter bruker vi Bragg-Williams til å tilnærme $m_{AB}$

### Bragg-Williams

[Bragg-Williams approximation](bragg-williams) sier at

$$
m_{AB} \approx \frac{zN_AN_B}{N}=zNx(1-x)
$$

altså at AB-bindinger er uniformfordelt.