# 6: Termodynamiske drivkrefter

**Fundamentale** ligninger introduseres. De fundamentale ligningene for endringen i energi $dU$ og endringen i entropi $dS$ er fundamentale fordi de fullstendig spesifiserer alle endringer som kan forekomme i et enkelt termodynamisk system. $dU$ er en funksjon av kun ekstensive variable, som vil bli nyttig å vite fra og med kapittel 9. Den fundamentale ligningen for $S(U, V, N)$ er

$$
dS = \frac{1}{T}dU + \frac{p}{T}dV − PM j=1 \frac{\mu j}{T}dNj
$$

og har et **ekstremverdiprinsipp**: $dS = 0$ ved likevekt. Samtidig gir ligningen definisjoner av temperatur, trykk og kjemisk potensial:

$$
\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} \text{,} \quad
\frac{p}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N} \text{,} \quad
\frac{\mu _j}{T} = -\left(\frac{\partial S}{\partial N_j}\right)_{U,V,N_{i\neq j}}
$$

Disse definisjonene kan kombineres med enkle **gittermodeller** for å utlede tilstandsligninger for enkle systemer, for eksempel den ideelle gassloven. Tolkninger av de termodynamiske drivkreftene er: $1/T$ er systemets tendens til å utveksle energi i form av varme, $p/T$ er systemets tendens til å endre volum, og $\mu_j/T$ er systemets tendens til å utveksle partikler. De termodynamiske drivkreftene er [**intensive størrelser**](intensiv-ekstensiv-storrelse) som er konjugater til (opptrer i par med) [**ekstensive størrelser**](intensiv-ekstensiv-storrelse), henholdsvis $U$, $V$ og $N$. Den intensive størrelsen beskriver hvordan entropien vil endres som respons på en endring av den ekstensive størrelse

## Utledningene av de fundamentale ligningene

Start med antagelsen at energi er en funksjon av entropi, volum og antall partikler, $U = U(S,V,N)$. Da skal det ikke mye til for å overtale deg til at endringen i $U$ totalt er lik summen av endringene i $U$ som kommer av hver av de tre variablenes endring. Hver av dem har sitt eget stigningstall. Altså: endringen i U som kommer av endring i S har stigningstall som er lik den partiellderiverte til U langs S-aksen.

$$
dU_{Som kommer av endring i S} = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V, N} \cdot dS
$$

Gjentar at den partiellderiverte av U mhp. S er stignigstallet. dS er endringen i S. Denne formelen gjelder alltid for alle flervariable funksjoner. Den totale endringen i U, dU, er summen av tre slike ledd, ett for hver variabel.

$$
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V, N} \cdot dS + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S, N} \cdot dV + \sum^M_{j=1} \left(\frac{\partial U}{\partial N_j}\right)_{S, V, N_{i \neq j}} \cdot dN_j
$$

N-leddet er en sum fordi vi kan ha flere forskjellige stoff med ulikt antall, men det kompliserer ikke konseptet.  
Vi anser disse stigningstallene til å være _konstanter_, og definerer dem som:

$$
T = \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V, N} \text{, } p = - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S, N} \text{ og } \mu_j = \left(\frac{\partial U}{\partial N_j}\right)_{S, V, N_{i \neq j}}
$$

Disse variablene kjenner vi igjen fra tidligere fag som temperatur T, trykk p og kjemisk potensial for stoff j $\mu_j$. Vi setter inn disse nydefinerte stigningstallene som konstanter i ligningen og ender opp med

$$
dU = T dS -p dV + \sum^M_{j=1} \mu_j dN_j
$$

Dette syntes jeg var en utledning som var litt tung å svelge i begynnelsen, men når du skjønner det er det enkelt. Det er viktig å forstå denne for å henge med i utledninger i resten av faget. Jeg gjentar at $T$, $p$, og $\mu_j$ er konstanter som vi har definert. Det er bare "tilfeldig" at de samsvarer til egenskaper som vi har sett før.