# 9: Maxwellrelasjoner og blandinger

Det er mulig å ta hensyn til flere typer krefter og arbeid enn de som har blitt behandlet så langt ved å legge til nye ledd i den fundamentale ligningen for indre energi. Deretter kan man, om man vil, gjøre de samme manipulasjonene som i kapittel 8 for å få et modifisert uttrykk for fri energi - den generelle fremgangsmåten er den samme. **Maxwellrelasjoner** er likheter mellom partielderiverte som følger av likheten mellom andreordens kryssderiverte av tilstandsfunksjoner. Disse relasjonene gjør det mulig å regne ut størrelser som er interessante å kjenne til, men vanskelige eller umulig å måle, ut i fra andre størrelser som er lettere å måle.

**Susceptibiliteter** introduseres som et spesialtilfelle av størrelser som er enkle å måle.

## Maxwellrelasjoner

Maxwellrelasjoner er sammenhenger mellom partielle deriverte. For eksempel er

$$
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V
$$

Dette er nyttig, blant annet i utledningen av osmotisk trykk i boka (ikke med i dette kompendiet).

Se tabell 9.1 på side 153 i boka for en oversikt over mange sammenhenger.

### Utledning

Her utleder jeg eksempelet over. Det er viktig å ha god kontroll på kapittel 6 for å forstå dette. Merk at hvilke variabler som er konstant når ikke er så lett å henge med på logikken bak, men det er ikke det viktige i utledningen.

Vi vet fra definisjon at

$$
T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V, N} \text{ og } p = - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S, N}
$$

Deriverer begge sider av ligningene med hensyn på den andre ligningens deriverte.

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S, N} = \left(\frac{\partial}{\partial V} \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V, N}\right)_{S,N} \text{ og } \left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V,N} &= -\left( \frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S, N}\right)_{V, N} \\
\implies -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V,N} &= \left( \frac{\partial}{\partial S} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}\right)_{V, N}
\end{aligned}
$$

fordi

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
$$

vet vi at

$$
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial}{\partial V} \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}\right)_{S, N} &= \left(\frac{\partial^2 U}{\partial V\partial S}\right) = \left( \frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}\right)_{V, N} = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V,N} \\
&\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V,N}
\end{aligned}
$$

Alle maxwellrelasjoner kan utledes fra to ensembler, og når slått sammen impliserer de at bare den andre ligningens partiellderiverte nødvendigvis er konstant. Eks:

$$
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S, N} = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V, N}
$$

kommer av $U(S,V,N)$, og

$$
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S, \mu} = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{V, \mu}
$$

kommer av $(S,V,\mu)$, et ensemble uten navn.  
Disse til sammen impliserer

$$
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V \\
$$